Explicación de la paradpja del Barbero

Los conjuntos son reuniones de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc. y en este sentido los llamaremos conjuntos normales.

La característica principal de un conjunto normal es que no se contiene a sí mismo. Pero también existen conjuntos de conjuntos, como 2^M, que es el conjunto de subconjuntos de M.

Un conjunto de conjuntos es normal salvo si podemos hacerlo que se contenga a sí mismo. Esto último no es difícil si tenemos el conjunto de todas las cosas que NO son libros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que NO son libros formará parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros. Estos conjuntos que se contienen a sí mismos se llaman conjuntos singulares.

Está claro que un conjunto dado o bien es normal o bien es singular, no hay término medio, o se contiene a sí mismo o no se contiene. Ahora tomemos el conjunto C como el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿Qué clase de conjunto es C? ¿Normal o Singular?

Si es normal, estará dentro del conjunto de conjuntos normales, que es C luego ya no puede ser normal. Si es singular, no puede estar dentro del conjunto de conjuntos normales, luego no puede estar en C, pero si no puede estar en C entonces no es singular.

Cualquier alternativa nos produce una contradicción, ésta es la paradoja.

Sin embargo, también existe la frase:

Si en una peluquería vemos el cartel:" yo afeito a quienes no se afeitan a si mismos, y solamente a estos". ¿quién afeita al barbero?

Que muestra una solución más sencilla pues ninguna de las afirmaciones expuestas muestra una idea de conjunto cerrado o estrictamente exclusivo.